Tu te perds souvent parmi les différentes méthodes pour prouver la liberté d’une famille ? Rassure-toi, cet article est fait pour toi ! Tu y trouveras les principales méthodes qu’il te faut maîtriser pour montrer proprement la liberté d’une famille.
Définition d’une famille libre
Soit \( E\) un espace vectoriel. Soit \( (V_1, …, V_n) \) une famille de vecteurs de l’espace vectoriel.
On dit que la famille \( (V_1, …, V_n) \) est libre lorsque :
\[ \forall (a_1,…,a_n) \in \mathbb{R^n}, (a_1V_1 + a_2V_2 + … + a_nV_n = 0) \Rightarrow
(a_1 = a_2 = … = a_n = 0) \]
On dit alors qu’une famille libre est une famille non liée.
Rappels :
- toute famille à un seul vecteur non nul est libre (d’où : soit \(u \in E\), \(u \ne 0\) si et seulement si la famille \((u)\) est libre) ;
- toute famille comportant le vecteur nul est liée ;
- une sous-famille d’une famille libre est une famille libre ;
- une famille est libre si, et seulement si, aucun des vecteurs qui la composent n’est combinaison linéaire des autres.
Voyons à présent les principales méthodes pour montrer qu’une famille est libre. Dans tous les exemples utilisés, les vecteurs appartiennent à \( E\).
La méthode classique
Cette méthode consiste à appliquer la définition d’une famille libre (on l’appelle parfois test de liberté).
Cas simple
On se place dans \( \mathbb{R^2}\). Soit \( V_1 = (1;3) \) et \(V_2=(2;-1) \). On veut savoir si la famille \( (V_1;V_2)\) est libre.
Soit \( (a_1, a_2) \in \mathbb{R^2}\) tels que \( a_1V_1 + a_2V_2 = 0\).
On a : \( a_1V_1 + a_2V_2 = 0 \Rightarrow (a_1+2 a_2; 3a_1- a_2) = (0;0) \Rightarrow a_1=a_2=0\).
Donc, la famille \( (V_1;V_2)\) est libre.
Autres cas
Dans certains exercices, la liberté de la famille dépend de la valeur d’un paramètre de la famille. On ne peut ainsi pas conclure de manière générale sur la liberté de la famille.
Considérons un \( \mathbb{R}-\)espace vectoriel \(E\). Soit \(u, v\) et \(w\) trois vecteurs de \( E\), formant une famille libre. Soit \( \lambda \in \mathbb{R}\).
Déterminons si la famille \( (u+\lambda v, v+\lambda w, w+\lambda u) \) est libre.
Soit \( (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R^3}\) tels que : \( a_1(u+\lambda v) + a_2(v+\lambda w) + a_3(w+\lambda u) = 0_E\).
En regroupant les termes devant \(u, v \) et \(w\), on a : \( (a_1+a_3\lambda)u + (a_2+a_1\lambda)v + (a_3+a_2\lambda)w = 0_E \)
On utilise alors la liberté de la famille \((u, v,w)\) pour obtenir la nullité des coefficients devant chacun de ces vecteurs.
Finalement, on obtient, après des calculs, que :
\( (u+\lambda v, v+\lambda w, w+\lambda u) \) est libre \(\Leftrightarrow \lambda^3 + 1 \ne 0\).
La méthode par récurrence
On peut raisonner par récurrence pour montrer la liberté d’une famille, notamment quand l’énoncé est de la forme : « Vérifier que la famille \( (e_0, …,e_n) \) est libre pour tout \( n \in \mathbb {N} \), où \( e_n \) est l’application de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) telle que : pour tout \( t \in \mathbb{R}, e_n(t) = t^n \). »
Dans ce cas, on montre la liberté de la famille par récurrence.
Attention : cette méthode est fréquente dans les sujets de concours, il faut donc la maîtriser !
La méthode par l’absurde
Dans cette méthode, on suppose que la famille est liée et on montre qu’on aboutit à une contradiction, et donc, que la famille en question est libre.
Remarque : cette méthode est souvent utile quand on a des familles de fonctions à caractéristiques particulières (dérivabilité…). Par l’absurde, on montre alors que les fonctions ne peuvent pas être combinaisons linéaires l’une de l’autre.
L’évaluation en des points bien choisis
Cette méthode concerne seulement les familles d’applications. C’est une des méthodes utilisées, par exemple, pour montrer la liberté d’une famille de polynômes de Lagrange.
Penser à des vecteurs propres
On sait que si des vecteurs sont des vecteurs propres d’un certain endomorphisme associés à des valeurs propres toutes distinctes, alors les vecteurs sont linéairement indépendants (c’est-à-dire qu’ils forment une famille libre).
Reconnaître des vecteurs orthogonaux
Dans un espace vectoriel \(E\) muni d’un produit scalaire, toute famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux est libre.
On peut donc montrer que deux vecteurs sont orthogonaux pour montrer qu’ils forment une famille libre.
Utiliser des propriétés locales
Quand on a une famille de fonctions numériques, il peut être judicieux de faire intervenir leur comportement asymptotique au voisinage de tel ou tel point.
Par exemple, on peut utiliser les développements limités de fonctions au voisinage de \(0\) pour simplifier les équations et obtenir la nullité des coefficients.
Voilà les principales méthodes pour montrer qu’une famille est libre. J’espère que cet article t’aura été utile et te servira pour avoir des outils et ne plus bloquer lorsqu’il faut démontrer la liberté d’une famille.
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