Nous allons étudier le théorème de prolongement des fonctions de classe \(C^n\) ainsi que le théorème du prolongement d’une dérivée. Ce sont des résultats fondamentaux en analyse mathématique qui offrent une puissante extension aux fonctions définies sur des intervalles et dérivables sur des intervalles semi-ouverts à droite ou à gauche. Dans cet article, nous explorerons les propriétés essentielles du théorème de prolongement des fonctions de classe \(C^n\) ainsi que ses applications pratiques grâce à un exemple.
Le théorème de prolongement expliqué en français
Ce théorème établit les hypothèses nécessaires qui permettent de prolonger une fonction définie sur un intervalle privé d’au moins un point en une fonction de classe \(C^n\), c’est-à-dire \(n\) fois dérivable et avec une dérivée n-ième qui est continue.
Parmi ces hypothèses, nous retrouvons la nécessité que notre fonction soit de classe \(C^n\) sur un intervalle privé d’un point et que les dérivées k-ième de cette fonction admettent une limite finie en ce point.
Théorème du prolongement d’une dérivée
Soient \(I \subset \mathbb{R} \) un intervalle, \( a\) un point de \(I,\) \(f\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \( \mathbb{R}\) et dérivable sur \(I \backslash \{a\}. \) De plus, nous supposons que \(f^{\prime}\) admet une limite en \(a\) que nous noterons \( \ell \in \overline{\mathbb{R}}.\)
Alors, \( \displaystyle \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \ell.\)
Remarque : si \( \ell \in \mathbb{R} \), alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f^{\prime}(a)=\ell\), c’est-à-dire \(f^{\prime}\) est continue en \(a.\)
En pratique, le théorème du prolongement d’une dérivée est un outil qui te permettra d’étendre la dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle ouvert à un intervalle fermé, ce qui pourra te permettre dans certains cas de prolonger une fonction dérivable en une fonction de classe \( C^1. \)
Démonstration
La démonstration de ce théorème est particulièrement importante, car ce dernier est hors programme. Ainsi, lorsque tu seras amené(e) à travailler sur cette notion aux écrits ou aux oraux, tu devras faire quelque chose de très similaire à cette démonstration, car tu ne pourras pas appliquer directement ce théorème.
Soit \(x \in I \backslash \{a\}.\) D’après le théorème des accroissements finis (TAF) : \( \exists a_x \in ]a,x[ \) tel que \( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= f^{\prime}(a_x) \)
Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, lorsque \(x\) tend vers \(a\), \(a_x\) tend vers \(a\) et d’après les hypothèses \(f^{\prime}(a_x)\) tend vers \( \ell. \) Donc \( \displaystyle \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \ell\)
Théorème de prolongement des fonctions de classe Cn
Soient \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle, \(n \in \mathbb{N}^*,\) \( a \in I \) et \(f\) une fonction continue sur \(I \backslash \{a\}\) et de classe \(C^n\) sur \(I \backslash \{a\}\) telle que \( \forall i \in [\![0,n]\!], f^{(i)}\) admet une limite finie en \(a.\)
Alors, \(f\) se prolonge par continuité en \(a\) et ce prolongement de \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(I.\)
Démonstration
Tu rencontreras principalement des exemples ne nécessitant que ce théorème à l’ordre 1, mais il est malgré tout intéressant de connaître sa démonstration dans le cas général, car c’est un raisonnement analogue qui te sera demandé. D’autant plus que cette démonstration utilise le théorème ci-dessus que nous venons de démontrer.
Montrons par récurrence sur l’entier naturel \(k \in [\![0,n]\!], P(k) :\) « \(f\) se prolonge en une fonction de classe \(C^k\) sur \(I\) » (nous considérons que toutes les hypothèses du théorème sont vérifiées).
Initialisation : Si \(f\) est de classe \(C^0\) sur \(I \backslash \{a\}\) (c’est-à-dire \(f\) est continue sur \(I \backslash \{a\}\)) et \(f\) admet une limite finie en \(a\), alors \(f\) se prolonge en une fonction continue sur \(I\). Autrement dit, \(f\) se prolonge en une fonction \(C^0\) sur \(I.\)
Hérédité : Supposons \(P(k)\) vrai pour un certain entier naturel \(k\) dans \([\![0,n-1]\!].\)
Alors, \(f\) se prolonge en une fonction \( \tilde{f} \) de classe \(C^k\) sur \(I.\) D’après les hypothèses du théorème, nous savons que \( \tilde{f}^{(k)} \) est dérivable sur \(I \backslash \{a\} \), que \((\tilde{f}^{(k)})^{\prime}\) est continue sur \(I \backslash \{a\} \) et que \((\tilde{f}^{(k)})^{\prime}\) admet une limite finie en \(a.\)
Donc, d’après le théorème du prolongement d’une dérivée, \(\tilde{f}\) se prolonge en une fonction de classe \(C^{k+1}\), ce qui est la propriété au rang suivant.
Nous venons de montrer que \(f\) se prolonge en une fonction de classe \(C^n.\)
Exemple d’utilisation du théorème de prolongement
Considérons la fonction \(f : x \in \mathbb{R}^* \to x^4 \sin(\displaystyle \frac{1}{x}). \) Montrons que \(f\) se prolonge en une fonction de classe \(C^1\) sur \( \mathbb{R}. \)
Premièrement : \(f\) est de classe \(C^1\) sur \( \mathbb{R}^+ \) et sur \( \mathbb{R}^-. \)
Deuxièmement : d’après le théorème des gendarmes \( \displaystyle \lim \limits_{x \to 0} f(x)=0\)
Troisièmement : \( \forall x \in \mathbb{R}^*, f^{\prime}(x)=4x^3sin(\displaystyle \frac{1}{x})-x^2 \cos(\displaystyle \frac{1}{x}),\) donc d’après le théorème des gendarmes \( \displaystyle \lim \limits_{x \to 0} f^{\prime}(x)=0\)
Conclusion : d’après le théorème de prolongement des fonctions de classe \(C^1\), \(f\) se prolonge en une fonction de classe \(C^1\) sur \( \mathbb{R}\).
Conclusion
En résumé, le théorème de prolongement des fonctions de classe \(C^n\) est un outil mathématique particulièrement utile et puissant en analyse, mais qui est hors programme. Cependant, même si son étude dépasse le cadre du cours, il est fréquent que tu sois amené(e) à reproduire un raisonnement très analogue aux démonstrations que nous venons de faire, d’où la nécessité de t’entraîner sur cette notion. Cette compréhension approfondie des concepts liés au prolongement des fonctions dérivables peut grandement renforcer tes compétences en résolution de problèmes lors de tes écrits et de tes oraux.
Pour maîtriser ce théorème, tu peux faire le sujet de concours Maths I 2012 (mathématiques approfondies) qui aborde le prolongement de classe \(C^1\) (c’est-à-dire le théorème que nous avons vu ci-dessus appliqué à l’ordre 1).
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