La suite de Fibonacci est un grand classique des mathématiques pouvant tomber au concours et qui demeure très accessible. Cet article te propose de décortiquer « le problème des lapins » souvent utilisé pour introduire la suite de Fibonacci. Le problème des lapins ainsi que quelques autres (animaux ou illustrations) peuvent être une aide afin de mieux comprendre et mieux visualiser l’intérêt de cette suite.
Formulation du problème des lapins de Fibonacci
Hypothèses
Supposons qu’un couple de lapins nouveau-nés (un mâle et une femelle) soit placé dans un enclos. Les lapins atteignent l’âge de reproduction après un mois, et la gestation dure également un mois. Chaque fois qu’une femelle donne naissance, elle met au monde un mâle et une femelle, formant ainsi un nouveau couple. À partir de leur deuxième mois de vie, chaque couple de lapins engendre un nouveau couple mensuellement. Les nouveaux couples de lapins suivent les mêmes règles de reproduction. Les lapins ne meurent jamais.
Représentation des premiers mois
Selon ces hypothèses, voici l’évolution du nombre de lapins mois après mois :
- Fin du mois n° 1 : un couple de lapins.
- Fin du mois n° 2 : le premier couple a donné naissance à un autre couple, on a donc au total deux couples de lapins.
- Fin du mois n° 3 : le premier couple redonne naissance, mais le deuxième ne peut pas encore, on a donc trois couples de lapins.
- Fin du mois n° 4 : les deux premiers couples peuvent engendrer (mais encore une fois pas le troisième pour le moment), on a donc un total de cinq couples.
Problème
Combien de couples de lapins y aura-t-il après \(n\) mois ?
Il n’est pas rare de trouver une illustration similaire au problème des lapins de Fibonacci avec… des abeilles !
La suite de Fibonacci avec des abeilles
Hypothèses
Chez les abeilles, on trouve des mâles et des femelles. Parmi les femelles, seule la reine est capable de pondre des œufs. Elle a deux parents : un mâle et une femelle. Les mâles, quant à eux, appelés faux bourdons, proviennent d’œufs non fécondés, ce qui fait qu’ils n’ont qu’un seul parent, une femelle.
Problème
Quel est l’arbre généalogique des faux bourdons ?
Représentation de l’arbre généalogique
Un faux bourdon n’a qu’un seul parent, sa mère. Il a toutefois deux grands-parents, car sa mère avait un père et une mère. En ce qui concerne ses arrière-grands-parents, il en a trois : deux femelles et un mâle, puisque sa grand-mère avait deux parents, mais son grand-père n’en avait qu’un seul.
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L’avantage de cet exemple ?
On obtient ici une triple représentation de la suite de Fibonacci en faisant varier les termes initiaux. La ligne des femelles correspond à la suite de termes initiaux \( u_0 = 1\)et \( u_1 = 0\). La ligne des mâles correspond à \( u_0 = -1\)et \( u_1 = 1\). La ligne de total correspond à \( u_0 = 0\)et \( u_1 = 1\).
La suite de Fibonacci avec des coquillages et des plantes
Si on s’éloigne un peu du problème des lapins de notre cher Fibonacci et qu’on s’intéresse aux merveilles déjà présentes dans la nature, on se rend compte que la suite de Fibonacci est partout !
Par exemple, traçons deux carrés adjacents de côté 1 l’un à côté de l’autre. À gauche de ces deux carrés, ajoutons un carré de côté \(1 + 1 = 2\). Ensuite, plaçons un carré de côté \(1 + 2 = 3\) en dessous, suivi, à droite, d’un carré de côté 2 + 3 = 5. En haut, ajoutons un carré de côté \(3 + 5 = 8\), puis à gauche, un autre de côté \(5 + 8 = 13\), et ainsi de suite en suivant le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Une fois les carrés en place, on peut tracer une spirale en reliant les quarts de cercle inscrits dans chaque carré : c’est la spirale de Fibonacci.
On trouve ce genre de spirale assez fréquemment dans la nature !
Par exemple au travers de pissenlits :
On peut observer de nombreuses spirales entrelacées de ce type, résultant de la disposition optimale des pistils. Quel que soit leur diamètre, ceux-ci sont répartis de manière homogène, ni trop serrés au centre ni trop espacés vers les bords.
C’est aussi le cas dans les pommes de pin, les coquilles d’escargots, etc. C’est relié au fameux nombre d’or !
La phyllotaxie : reflet caché de la suite de Fibonacci
La phyllotaxie est la science qui examine la disposition des feuilles le long des tiges d’une plante. Imaginons une hélice passant par l’extrémité de chaque feuille, en partant de la base de la tige. Appelons \(p\) le nombre de tours effectués par l’hélice et \(q\) le nombre de feuilles qu’elle croise, à l’exception de la première.
La suite composée des quotients \(\displaystyle \frac{p}{q} \) caractérise l’espèce.
Dans certaines d’entres elles, cette suite est \(\displaystyle \frac{1}{2} \),\(\displaystyle \frac{1}{3} \), \(\displaystyle \frac{2}{5} \), \(\displaystyle \frac{3}{8} \), \(\displaystyle \frac{5}{13} \), \(\displaystyle \frac{8}{21} \)…
On se rend bien compte que les numérateurs et dénominateurs sont des suites de Fibonacci !
Fibonacci en physique
Maintenant, éloignons-nous encore plus du domaine naturel et animalier sur lequel nous étions partis avec notre suite des lapins de Fibonacci. Accolons deux lamelles de verre. Lorsqu’un rayon de lumière les frappe, il peut subir plusieurs réflexions avant de ressortir. Voici les possibilités.
Il peut passer directement à travers sans subir de réflexion. Il peut subir une seule réflexion, soit sur la première lamelle, soit sur la seconde.
- Avec deux réflexions, il existe trois trajets différents.
- Avec trois réflexions, il y a cinq trajets possibles.
- Avec quatre réflexions, on compte huit trajets possibles.
On observe donc qu’il y a \( u_n \) trajets possibles pour n réflexions, où les termes de la suite \( u_n \) sont définis par \( u_0\)=1 et \(u_1 \)=2.
Fibonacci en chimie
Considérons un atome d’hydrogène avec son unique électron initialement au repos. Au fil du temps, cet électron gagne ou perd alternativement un ou deux quanta d’énergie, ce qui le fait monter ou descendre d’un ou de deux niveaux d’énergie à chaque étape. Naturellement, il ne peut pas descendre en dessous du niveau de repos.
Nous cherchons à déterminer le nombre de chemins possibles pour l’électron après n étapes.
La réponse est simple à trouver : il s’agit du nombre de Fibonacci \( u_n \). Même les lapins de Fibonacci ne l’avaient pas vu venir celle-là…
Lien avec le nombre d’or
Avec ce problème des lapins, on peut facilement trouver une approximation du fameux nombre d’or (voire du nombre d’argent). Il suffit de réaliser le quotient du nombre de couples à l’instant n + 1 par rapport à l’instant n : \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) de plus en plus grands pour en obtenir une approximation.
Par exemple, prenons une suite de Fibonacci de termes initiaux \( u_0 \)= \( u_1 \)=1
On observe que \( \frac{u_1}{u_0} \)=1, \( \frac{u_2}{u_1} \)=2, \( \frac{u_3}{u_2} \)= \( \frac{3}{2} \)…, \( \frac{u_18}{u_17} \)= \( \frac{4181}{2584} \) \( \approx 1,618 \)
Le nombre d’or aussi vaut \( \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618 \).
Conclusion
Le problème des lapins de Fibonacci, introduit par Léonard de Pise au XIIIe siècle, est plus qu’une simple curiosité mathématique. Cette suite trouve des applications fascinantes dans divers aspects de la nature et de la science. Par exemple, la séquence de Fibonacci est omniprésente dans le règne végétal, où elle régit la disposition des feuilles, la structure des fleurs et la spirale des graines dans les tournesols. De même, elle se retrouve dans les coquillages, où la spirale logarithmique de la coquille suit la séquence de Fibonacci. Ces motifs naturels illustrent l’efficacité et l’harmonie que cette suite mathématique apporte à la croissance et à l’organisation dans le monde naturel.
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