L’implication est une formulation incontournable dans les sujets de concours : une grande partie des questions dans les sujets prend cette forme. Concrètement, tu les retrouveras sous la forme : montrer que si … alors … Et pourtant, la plupart des candidats ont du mal à rédiger rigoureusement ce type de questions.
Dans cet article, tu vas apprendre deux méthodes pour démontrer une implication, avec à chaque fois une rédaction type, idéale pour les concours, qui te permettra de gagner tous les points tout en t’aidant à trouver plus facilement les astuces pour répondre à ce genre de questions !
À la fin de l’article, je t’apprendrai même à rédiger une équivalence (ou double implication).
Pour comprendre tout l’intérêt de bien rédiger une copie de maths, je t’invite à lire cet article.
L’utilité de l’implication et de l’équivalence
L’implication (symbolisée par \(\Rightarrow\)) ou l’équivalence (symbolisée par \(\Leftrightarrow\)) permettent de lier deux phrases mathématiques entre elles. Il s’agit de trouver des relations logiques entre des phrases mathématiques.
Si l’on considère que la propriété \(\mathcal{A}\) représente une phrase mathématique et la propriété \( \mathcal{B}\) une autre, l’implication permet de lier ces deux phrases, et de fait “\(\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B}\)” représente une toute nouvelle phrase mathématique (qui est la fusion des deux précédentes).
Exactement les mêmes remarques avec l’équivalence.
Rédiger une implication : preuve directe
Première étape : fixer une condition
Soient \(n \in \mathbb{N} \), \( \mathcal{A}\) et \( \mathcal{B}\) deux propriétés.
Pour répondre à une question de type “si \( \mathcal{A}\) alors \( \mathcal{B}\)”, tu dois toujours commencer en supposant que la condition est vérifiée, en écrivant “supposons \( \mathcal{A}\)” ; dans la suite de ta réponse, c’est comme si cette hypothèse devenait une propriété.
À partir de là, tu dois toujours donner un sens mathématique à ta condition, car c’est ce sens mathématique que tu vas manipuler pour pouvoir faire ta démonstration. Par exemple, pour répondre à la question “démontrer que si \(n\) est pair, alors \(n^{2}\) est pair”, tu commenceras ta réponse par :
- Supposons que \(n\) est pair.
Alors, on a par définition :
\( \exists {k} \in \mathbb{N}, n = 2k \)
Attention : il ne faut jamais mélanger le français et les quantificateurs de maths sur une même ligne !
Seconde étape : raisonner par implications et conclure
Une copie de maths, c’est un jeu d’hypothèses et de déductions. Une fois ton hypothèse posée, tu dois structurer ta réponse en différentes étapes, toutes introduites par un lien logique (or, autrement dit, ainsi, donc, alors, d’où, c’est pourquoi…), ce qui rendra ta pensée plus claire et ta copie plus élégante (donc, tu gagneras beaucoup de points).
Pour reprendre l’exemple précédent, voilà ce qu’il faudrait écrire :
- Supposons que l’entier \(n\) est pair.
Alors, on a : \( \exists {k} \in \mathbb{N}, n = 2k \)
Donc :
\(
\begin {align}
n^{2} &= 4k^{2}\\
& =2.2k^{2}.
\end{align}\)
Or, on a : \( 2k^{2} \in \mathbb{N} \). Et comme le produit de 2 par un nombre entier donne toujours un nombre pair, l’entier \(n^{2}\) est donc pair.
Ainsi, \( \fbox{si \(n\) est pair, alors \(n^{2}\) est pair }\)
Ici, tu as la rédaction la plus rigoureuse possible. C’est comme ça que tu dois toujours commencer une copie, pour montrer au correcteur que tu es une personne rigoureuse et que tu sais faire des maths. Il te verra d’un bon œil et sera beaucoup plus indulgent 😉
Rédiger une implication : preuve par contraposition
Comme te l’a appris ton professeur en début de première année, les propositions \(\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B} \) et \(\overline{\mathcal{B}} \Rightarrow \overline{\mathcal{A}}\) sont équivalentes. On dit qu’elles ont la même valeur de vérité. Si ton raisonnement n’aboutit pas en preuve directe, c’est par la contraposée que tu devras passer.
La méthode est la même, mais il y a une légère différence : ton hypothèse de départ ne sera pas de supposer que \(\mathcal{A}\) est vraie, mais de supposer la négation de \(\mathcal{B}\). L’objectif sera de montrer la négation de \(\mathcal{A}\), par la même démarche déductive que dans la preuve directe. Voilà un exemple de réponse par contraposition :
- Soient \((m,n) \in \mathbb{R}^2\) avec \( m \ne 0\) et \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la fonction définie par
\(\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = mx + n\).
Montrer que : pour tout \( (x,y) \in \mathbb{R}^2\), si \(x \ne y\), alors \(f(x) \ne f(y) \) Soient \( (x,y) \in \mathbb{R}^2\) - Supposons qu’on a \(f(x) = f(y)\).
Alors, on a \(mx+n = my+n\)
Soit
\( \begin {align} & mx-my = n-n \\
& m(x-y) = 0 \; \text{et comme \( m \ne 0\) :}
\end{align}\)
\(x-y = 0\)
i.e \(x=y\) Donc : \( f(x) = f(y) \Rightarrow x=y\), d’où par contraposition :\( \fbox{pour tout \( (x,y) \in \mathbb{R}^2\), si \(x \ne y\), alors \(f(x) \ne f(y)\) } \)
N.B. : Il était aussi possible d’écrire la proposition mathématique en maths (\(\Rightarrow\)) et non en français (alors le si… alors…).
Ce qui donnerait alors :
\( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x \ne y \Rightarrow f(x) \ne f(y) \)
Rédiger une équivalence
Première méthode : preuve directe
Une équivalence, c’est une double implication, un « si et seulement si » que tu peux aussi trouver représenté avec le symbole \(\Leftrightarrow\).
Deux méthodes existent, encore une fois, pour prouver une équivalence. La première, moins courante, est la preuve directe : c’est ce que tu utilises quand tu résous une équation ou un système d’équations par exemple. On dit que tu raisonnes « par équivalences ». Dans ce cas, l’enjeu est de bien conclure. En effet, entre chaque ligne de ton raisonnement, tu ne devras pas utiliser de liens logiques en français, mais le signe “\(\Leftrightarrow\)”.
La seconde méthode est celle de la double implication. Tu commenceras par montrer un sens de l’équivalence, puis l’autre, selon les méthodes qu’on vient de voir ensemble (preuve directe ou contraposée).
Voilà un exemple de rédaction pour une question de type double implication :
ici, on peut utiliser les deux modes de raisonnement. Commençons par le raisonnement par équivalences (le plus simple). On va montrer le théorème de Pythagore appliqué aux vecteurs orthogonaux (programme de carré). Il dit que deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si et seulement si on a \(\|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+ \|y\|^{2}\). La méthode du raisonnement par équivalences nous donnera une réponse du type :
Soit \(x,y \in E\). Par définition, x et y sont orthogonaux si \( \langle x,y \rangle = 0 \). Or, on a :
\(
\begin{align}
\langle x,y \rangle = 0 &\Leftrightarrow 2.\langle x,y \rangle = 0 \\
&\Leftrightarrow \|x\|^{2}+ \|y\|^{2} + 2.\langle x,y \rangle = \|x\|^{2}+ \|y\|^{2} \\
&\Leftrightarrow \|x\|^{2}+ \|y\|^{2} = \|x+y\|^{2}
\end{align}
\)
Ainsi, on a bien : \(\fbox{\(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si
\(\|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+ \|y\|^{2}\) } \)
La réponse, qu’on a encadrée ici, devra être soulignée ou encadrée dans ta copie. C’est la phrase la plus importante, celle que le correcteur doit voir en premier.
Seconde méthode : raisonnement par double implication
Seconde méthode, un peu plus longue ici, mais plus sûre dans le cas d’une question compliquée, celle du raisonnement par double implication.
À la question « Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(n\) est pair si et seulement si \(n^{2}\) est pair », on répondra :
Soit \(n \in \mathbb{N} \)
- Supposons que \(n\) est pair.
Alors, on a :\( \exists {k} \in \mathbb{N}, n = 2k \)
Donc :
\(
\begin {align}
n^{2} &= 4k^{2}\\
& =2.2k^{2}.
\end{align}\)
Or, on a :
\( 2k^{2} \in \mathbb{N} \)
Donc, l’entier \(n^{2}\) est pair. - Supposons maintenant que \(n\) est impair.
Alors, on a :
\( \exists {k} \in \mathbb{N}, n = 2k \)
Donc :
\(
\begin {align}
n^{2} &= 4k^{2} + 4k + 1\\
& =2.(2k^{2}+2k) + 1
\end{align}\)
Or, on a :
\( 2k^{2}+2k \in \mathbb{N} \)
Donc, l’entier \(n^{2}\) est impair. Nous avons donc montré par la contraposée que si \(n^{2}\) est pair, alors \(n\) est pair. Ainsi, on a bien :
\( \fbox{Pour tout entier naturel n, n est pair si et seulement si \(n^{2}\) est pair }\)
Petite remarque : Tu as remarqué qu’au début de chacune de mes réponses, j’ai fixé un entier \(n\) (sans lui donner de valeur précise, mais juste en supposant que c’était une constante). C’est ce que tu dois toujours commencer par faire lorsque tu réponds à une question qui commence par un « pour tout ».
Attention à l’utilisation des symboles implication et équivalence à tort et à travers
Il faut totalement perdre l’habitude d’utiliser ces symboles à toutes les sauces
En effet, cela est dû à une mauvaise compréhension du symbole pour la plupart des candidats. Souvent, on pense que \( \Rightarrow\) est synonyme de « donc ». Or, ce n’est pas du tout le cas. \( \Rightarrow\) est synonyme de « si… alors… ».
C’est pourquoi, quand tu écris : \( \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B}\), tu n’as pas écrit en maths :
On a \( \mathcal{A}\), donc on a \( \mathcal{B}\).
Tu as en fait écrit : Si \( \mathcal{A}\) est vraie, alors \( \mathcal{B}\) est vraie.
Ce qui est radicalement différent !
Ne jamais mélanger des maths et du français dans la même phrase
Ces symboles ne sont pas des abréviations.
On évitera d’écrire : la fonction \(f’\) est positive sur \(I\) \( \Rightarrow \) la fonction \(f\) est croissante sur \(I\). On écrira plutôt : si la fonction \(f’\) est positive sur \(I\), alors la fonction \(f\) est croissante sur \(I\).
De même, on évitera d’écrire : si \(x \in ]-1; 1[\), alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} (x)=0\), mais plutôt : \(x \in ]-1; 1[ \Rightarrow \lim \limits_{n \to +\infty} (x)=0\)
Éviter d’écrire plusieurs symboles implication ou équivalence sur la même ligne
En effet, écrire : \( \mathcal{A} \Leftrightarrow \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{C} \) est pour le moins ambigu.
L’écriture correcte sera plutôt :
\(
\begin{align}
\mathcal{A} &\Leftrightarrow \mathcal{B} \\
&\Rightarrow \mathcal{C}
\end{align}
\)
Remarques supplémentaires sur l’implication
L’implication peut être utilisée pour lier deux phrases mathématiques, qu’elles soient vraies ou fausses. En effet, vu qu’il s’agit d’un “si \( \mathcal{A}\) est vraie, alors \( \mathcal{B}\) est vraie” en français, on suppose que la proposition \( \mathcal{A}\) est vraie. Mais cela reste une hypothèse. Rien ne nous dit que dans la réalité, \( \mathcal{A}\) soit vraie.
C’est pourquoi on peut très bien écrire : \( 0=1 \Rightarrow 1=2 \). En effet, ici, on a supposé que l’égalité \( 0=1\) est vraie (alors que dans les faits, bien sûr que \(0=1\) est impossible). Sous cette hypothèse que l’on a supposée vraie, on peut ajouter \(+1\) membre à membre, et on obtient bien \(1=2\).
Voilà pourquoi il n’est pas mathématiquement faux d’écrire : \( 0=1 \Rightarrow 1=2 \).
Bien sûr, la rédaction ne fait pas tout. Mais c’est ce qui te permettra de te démarquer des copies de ton paquet dès les premières questions et de t’assurer une note convenable si tu as du mal avec la matière, voire de tutoyer les sommets si tu es plus à l’aise. Rappelle-toi : correcteur heureux, correcteur généreux.
Si tu veux des astuces pour acquérir de l’aisance mathématique, je t’invite à lire l’article de Lucas, qui a eu 20 à toutes ses épreuves de maths aux écrits.
