Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est une question extrêmement récurrente lors des concours. Savoir la déterminer est donc absolument primordial. Nous allons ensemble voir les différentes méthodes qui permettent d’y parvenir.
Déterminer une loi de probabilité : c’est quoi ?
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète \( X \) revient à déterminer la fonction de répartition de \( X \).
Usuellement, on cherchera plutôt à déterminer, pour tout entier naturel \( n \), la valeur de \( P(X=n) \).
Toutes les méthodes
Reconnaître une loi usuelle
Même si cela peut paraître évident, il est important de savoir reconnaître les lois usuelles discrètes.
Trop d’étudiants se lancent par exemple dans des calculs fastidieux, alors même que l’énoncé décrit parfaitement une loi binomiale.
Calculer la probabilité de chaque événement
On pourra pour cela décomposer chaque événement en une suite d’événements plus simples, dont on peut connaître la probabilité.
On utilisera les règles de calcul et les théorèmes sur les calculs de probabilités, comme le théorème de Bayes, le théorème des probabilités totales, la formule des probabilités composées, ou bien le dénombrement, etc.
De façon relativement simple lorsque l’expérience aléatoire est simple
Pour des expériences aléatoires relativement simples, avec peu de résultats possibles, on peut calculer la probabilité de chaque événement.
Prenons par exemple l’expérience aléatoire suivante : on lance deux dés à six faces parfaitement équilibrés à la suite et on s’intéresse à la somme du résultat de chaque lancer. On suppose chaque lancer indépendant. On note \( X \) la variable aléatoire égale à la somme du résultat de chaque lancer.
Commençons par regarder tous les résultats possibles :
Sachant que les deux dés sont parfaitement équilibrés et que les lancers sont indépendants, la probabilité d’avoir d’abord un \( 1 \) puis un \( 6 \) est exactement la même que d’avoir d’abord un \( 2 \) puis un \( 4 \), ou bien un \( 6 \) puis un \( 3 \).
Autrement dit, si on note, pour tout \( i \in \{ 1,2,3,4,5,6 \} \), \( A_{i} \), l’événement « Le résultat du lancer est \( i \) », alors, pour tout \( i \in \{ 1,2,3,4,5,6 \} \), pour tout \( j \in \{ 1,2,3,4,5,6 \} \), \( P(A_{i} \cap A_{j}) = P(A_{i} \times A_{j}) = \displaystyle\frac{1}{6} \times \displaystyle \frac{1}{6} =\displaystyle \frac{1}{36} \) par indépendance des événements et équiprobabilité.
Ainsi, en dénombrant la fréquence de chaque résultat possible :
On établit ainsi la loi de \( X \) :
En décomposant chaque événement en une suite d’événements plus simples
Il conviendra, lorsque l’ensemble des résultats possibles est infini ou trop important, de décomposer chaque événement possible en une suite d’événements plus simples et d’utiliser les règles et les théorèmes relatifs au calcul probabiliste.
En utilisant une fonction génératrice
Si on connaît la probabilité de \( P(X \le k) \) pour tout entier naturel \( k \), alors on peut déterminer aisément que : \( \forall k \in \mathbb{N}, P(X=k)=P(X \le k)-P(X \le k-1) \).
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