Aujourd’hui, on va s’intéresser à un classique des exercices de probabilité : la loi de Rademacher. Cette loi est classique en ce qu’elle est intimement liée à la loi de Bernoulli.
Définition de la loi de Rademacher
Tout comme la loi de Bernoulli, la loi de Rademacher est une loi de probabilité ne prenant en entrée qu’un seul paramètre, généralement noté \(p\).
On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit la loi de Rademacher de paramètre \( p \in [0,1] \) si elle admet la loi de probabilité suivante :
\( \begin{cases} X(\Omega) = \{-1,1\} &\\
P(X=1) = p \ \text{et} \ P(X=-1) = 1-p
\end{cases} \)
À retenir : Un cas particulier de cette loi, dans lequel \( p = \frac{1}{2} \) est souvent étudié. Il s’agit alors de modéliser des situations où l’issue est binaire et équiprobable, comme dans les processus stochastiques, les simulations Monte-Carlo ou les expériences aléatoires équilibrées.
Espérance d’une variable aléatoire de Rademacher
L’espérance de \(X\) suivant la loi de Rademacher existe (car c’est une variable discrète finie) et vaut \(2p \ – 1\), et ceci est très facile à démontrer :
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi de Rademacher de paramètre \( p \in [0,1] \).
\( \begin{align}
E(X) &= 1 \times P(X=1) + (-1) \times P(X=-1) \\
&= p \ – (1-p) \\
&= 2p \ – 1
\end{align} \)
Donc : \( \fbox{\( \displaystyle E(X) = 2p \ – 1\)} \)
Variance d’une variable aléatoire de Rademacher
On procède de la même façon avec la variance, qui existe également du fait que \(X\) soit une variable aléatoire discrète finie. Cette variance vaut \( 4p(1-p) \ \), et voici pourquoi :
\( \begin{align}
E(X^2) &= 1^{2} \times P(X=1) + (-1)^{2} \times P(X=-1) \\
&= p + (1-p) \\
&= 1
\end{align} \)
D’après la formule de König-Huygens, on a :
\( \begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2 \\
&= 1 – (2p-1)^2 \\
&= 4p \ – 4p^2 \\
&= 4p(1-p)
\end{align} \)
Donc : \( \fbox{\( \displaystyle V(X) = 4p(1-p) \)} \)
Lien Rademacher-Bernoulli
Peut-être la partie la plus intéressante, car c’est celle qui est généralement étudiée lorsque la loi de Rademacher se trouve dans un sujet. Le lien est le suivant :
Si \(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), alors \(2X-1\) suit une loi de Rademacher de paramètre \(p\).
Réciproquement, si \(X\) suit une loi de Rademacher de paramètre \(p\), alors \((X+1)/2\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
De fait, soit \( p \in [0,1], \text{soit} \ X \hookrightarrow\mathcal{B}(p) \). On a :
\(
\begin{cases}
X(\Omega) = \{0, 1\} \\
P(X=1) = p \quad \text{et} \quad P(X=0) = 1-p
\end{cases}
\)
Donc : \( (2X-1) \ (\Omega) = \{-1,1\} \), et on trouve :
\( \begin{align} P(2X-1 = 1) &= P(2X=2) \\
&= P(X=1) \\
&= p
\end{align}
\)
Ce qui nous donne automatiquement que \( P(2X-1 = -1) = 1 – p \)
On en tire que la variable \( 2X – 1 \) suit bien la loi de Rademacher de paramètre \(p\).
De même, soit \( p \in [0,1] \) et soit \(X\) suivant la loi de Rademacher de paramètre \(p\).
Alors, \(\displaystyle \left(\frac{(X+1)}{2}\right)(\Omega) = \{0,1\} \), et on trouve :
\(
\begin{align}\displaystyle P\left(\frac{(X+1)}{2} = 1\right) &= P(X+1=2) \\
&= P(X=1) \\
&= p
\end{align}
\)
Ce qui nous donne automatiquement que \(\displaystyle P\left(\frac{(X+1)}{2} = 0\right) = 1 – p \)
On en tire que la variable \(\displaystyle \frac{(X+1)}{2} \) suit bien la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
Annales où tu peux retrouver la loi de Rademacher
Si tu souhaites t’entraîner davantage sur cette notion, voici une liste non exhaustive d’annales que tu peux consulter :
- ENSAE 2021 (faisable que tu sois en Maths Appliquées ou en Maths Approfondies)
- EDHEC 2021 ECS
Tu peux également retrouver nos autres ressources mathématiques ici.
