Aujourd’hui, nous allons nous intéresser à un classique des exercices de probabilité : la loi de Pareto.
Pour ta culture, Vilfredo Pareto, sociologue et économiste italien du XIXᵉ siècle, a observé le principe des 80-20. Par exemple, 80 % des richesses sont détenues par 20 % de la population. 80 % des performances d’un sportif sont obtenues grâce à 20 % de ses efforts à l’entraînement. 80 % des réclamations proviennent de 20 % des clients… Je pense que tu comprends l’idée !
Définition de la loi de Pareto
On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit la loi de Pareto de paramètres \((a,\alpha)\in \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\) si elle admet pour densité :
\(f(x) =
\begin{cases}
\frac{\alpha}{a}(\frac{a}{x})^{\alpha +1} &\text{si} \; x > a\\
0 &\text{sinon} \end{cases}
\)
Espérance
\(X\) n’admet une espérance que si \(\alpha >1\). On a alors \(E(X)= \frac{a \alpha}{\alpha -1}\)
En effet, \(X\) admet une espérance ssi \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} tf(t) \, \mathrm{d}t\) converge absolument, donc ssi \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} t\frac{\alpha}{a}(\frac{a}{t})^{\alpha +1} \, \mathrm{d}t\)
Or, par comparaison avec une intégrale de Riemann, cela n’est possible que si \(\alpha >1\)
On calcule ensuite l’intégrale :
\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} t\frac{\alpha}{a}(\frac{a}{t})^{\alpha +1} \, \mathrm{d}t\) = \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \alpha(\frac{a}{t})^{\alpha} \, \mathrm{d}t = \frac{a \alpha}{\alpha -1}\)
Donc, \(E(X)\) existe et vaut \(\frac{a \alpha}{\alpha -1}\)
Variance
On procède de la même façon avec la variance. \(X\) n’admet une variance que si \(X\) admet un moment d’ordre 2 cad ssi \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t^2f(t) \, \mathrm{d}t\) converge.
Cela n’est possible que si \(\alpha >2\). On a alors \(V(X)= \frac{a^2 \alpha}{\alpha -2}-\frac{a^2 \alpha^2}{(\alpha -1)^2}\) en effectuant le calcul.
Annales où tu peux retrouver la loi de Pareto
Et voici une liste (non exhaustive) de sujets où la loi de Pareto est tombée. C’est l’occasion pour toi de pratiquer un peu :
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