Dans cet article, nous allons nous intéresser à un classique des annales : la loi hypergéométrique. Cette loi est abordable dès la première année 🙂 Elle apparaît souvent dans la vie quotidienne. On l’utilise dès que l’on fait un tirage où une certaine quantité d’objets a une particularité.
Par exemple, si l’on s’intéresse à une classe pour un sondage et que l’on prend en compte le genre des élèves, alors on s’appuiera sur la loi hypergéométrique. De la même façon, le tirage sans remise de boules de couleurs différentes fera appel à la loi hypergéométrique.
Présentation de la loi hypergéométrique
Soit \(n, m\) et \(N\) trois entiers positifs tels que \(n \leq N\) et \(m \le N\). \(m\) compte le nombre d’objets/d’individus avec une particularité. On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit une loi hypergéométrique de paramètres \(n, m\) et \(N\), si :
- \(X(\Omega)=\{0,1,\dots,n\}\) ;
- \(\displaystyle \forall \in k [\![0,n]\!], P(X=k)=\frac{{{m}\choose{k}}{{N-m}\choose{n-k}}}{{{n}\choose{N}}}\).
On note \(X\hookrightarrow \mathcal H(N,n,m)\).
Espérance et variance
\(X\) admet une espérance et une variance. On a \(E(X)=\frac{nm}{N}\) et \(V(X)=\frac{N-n}{N-1}\times \frac{nm}{N}\times(1-\frac mN)\).
Lien avec la loi binomiale
On pose \(p= \frac{m}{N}\).
Lorsque \(N \to +\infty\), alors la loi hypergéométrique \(\mathcal H(N,n,p)\) tend vers la loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\).
En effet, dans une grande population, la différence entre un tirage sans remise et avec remise est assez faible.
Exercice type sur la loi hypergéométrique
Pour vraiment comprendre cette loi, le mieux est de s’appuyer sur un exemple concret.
Imaginons, par exemple, une partie de poker opposant deux joueurs. Chaque joueur a cinq cartes en main. L’un d’eux annonce avoir un brelan de rois, soit trois rois dans son jeu. On se demande s’il ment.
Pour trouver la probabilité de l’événement A : « Avoir trois rois en main », on s’appuie sur une loi hypergéométrique.
On identifie \(N\), \(m\) et \(n\). \(n\) correspond au nombre de cartes que le joueur a en main. On a donc \(n=5\). \(m\) aux nombres de rois, soit 4.
Enfin, \(N\) représente le nombre de cartes dans le jeu. Prenons par exemple un jeu de 32 cartes.
On note \(X\hookrightarrow \mathcal H(N,n,m)\). On a \(\displaystyle P(A)=P(X=3)=\frac{{{m}\choose{3}}{{N-m}\choose{n-3}}}{{{n}\choose{N}}}=\frac{{{4}\choose{3}}{{32-4}\choose{5-3}}}{{{5}\choose{32}}} \approx 0,0075\). Vu la probabilité faible, on est en droit de penser que le joueur ment.
On pouvait aussi trouver ce résultat par le dénombrement. Parmi les n cartes tirées, on veut trois rois. Il y a \({{4}\choose{3}}\) de piocher trois rois et \({{N-m}\choose{n-3}}\) de choisir les autres cartes. Le nombre de tirages possible est de \({{N}\choose{n}}\). On retrouve ainsi le même résultat.
Exemple d’exercice à faire sur la loi hypergéométrique
Voici une sujet d’annales où tu peux retrouver cette notion si tu veux t’exercer dessus : Centrale Supelec PSI 2021.
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