Dans cet article, je te présente la formule du binôme négatif ! Officiellement hors programme, il s’agit néanmoins d’une formule que tout préparationnaire aguerri se doit absolument de connaître. Il s’agit d’une formule tellement incontournable qu’il arrive régulièrement que son énoncé soit demandé au candidat dans le cadre des questions de cours posées aux oraux de maths HEC/ESCP.
Je ne peux donc que te conseiller de te familiariser avec la formule avant de passer les concours !
Expression de la formule du binôme négatif
Soit \(r \in \mathbb{N}\), alors pour tout \(x \) tel que \(|x| < 1\),
\[
\frac{1}{(1-x)^{r+1}} = \displaystyle \sum_{k=r}^{+\infty} {{n}\choose{k}}x^{k-r}
\]
Utilité
La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d’une soustraction du type \(1-x\), avec \(x \in ]-1,1[\)
En effet, on a bien : \((1-x)^{-(r+1)}=\frac{1}{(1-x)^{r+1}}\)
De plus, elle apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé (formule hors programme qui permet de développer une puissance complexe).
On remarquera également que la formule du binôme négatif apparaît comme une généralisation de la série d’une fonction dérivée.
Démonstration
Cette démonstration n’est qu’un exemple de démonstration possible. Il est fort probable que ton professeur t’en donne une autre, ou que tu rencontres une façon différente de démontrer cette formule dans des annales ou des exercices.
Étape 1 : on montre par récurrence sur \(n\) que \[ \forall r \in [\! [1,n]\!] , {{n}\choose{r}} = \displaystyle \sum_{k=r}^{n}{{r-1}\choose{k-1}}\]
Cette étape est simple, il suffit de bien se rappeler de la formule du triangle de Pascal !
Étape 2 : on montre l’équivalence simple, en supposant \(r\) fixé, \[{{n}\choose{k}}\underset{{{n \to +\infty}}}{\sim}\frac{n^r}{r!}\]
Cette équivalence est archiclassique. Il est impératif de savoir la démontrer rapidement.
Étape 3 : on introduit une fonction particulière.
Soit \( (n,r)\) un couple d’entiers naturels tel que \( 1\le r\le n\)
Pour tout \(x \in ] 0,1[ \), on note \(f_{r,n}\) la fonction : \[f_{r,n} \ (x) = \displaystyle \sum_{k=r}^{n}{{r}\choose{k}}x^r\]
On montre ensuite que, pour tout \(x \in ] 0,1[ \), \( (1 – x) f_{r,n}(x) = x f_{r-1,n-1} (x) \ – {{n}\choose{r}}x^{n+1}\)
Étape 4 : soit \(x \in ] 0,1[ \) et \(r\) un entier naturel non nul fixé.
En supposant que pour tout réel \(x \in ] 0,1[ \), on a \( \lim \limits_{n \to +\infty}f_{r – 1,n} (x) = \displaystyle \frac{x^{r-1}}{(1-x)^r}\), on montre que pour tout réel \[x \in ] 0,1[, \lim \limits_{n \to +\infty}f_{r,n} (x) = \frac{x^{r}}{(1-x)^{r+1}}\]
En suivant les étapes de cette démonstration, on obtient donc bien (par récurrence sur \(n\)), et en remplaçant \(f_{r,n}\) par sa formule que :
\[\frac{x^r }{(1-x)^{r+1}} = \displaystyle \sum_{k=r}^{+\infty} {{n}\choose{k}}x^{k}\]
Les sujets de concours avec la formule du binôme négatif
Cette notion classique s’est retrouvée dans plusieurs annales de concours.
Tu pourras trouver les corrections de ces propriétés en cherchant ici : HEC Maths II ECE 2005.
Tu sais désormais tout sur la formule du binôme négatif. N’hésite pas à aller consulter nos autres ressources mathématiques si tu souhaites approfondir tes connaissances !
