Les intégrales de Wallis sont un incontournable des sujets EDHEC/EM. Ces intégrales, dont la fonction intégrande est une fonction trigonométrique, permettent aux concepteurs de sujets de tester les candidats sur des techniques subtiles d’analyse. Cependant, rares sont les candidats qui n’auront jamais travaillé dessus avant de passer les concours. Mais une piqûre de rappel peut parfois s’avérer indispensable !
Dans cet article, tu trouveras donc les propriétés et les résultats inhérents aux intégrales de Wallis. Je te propose également une démonstration de l’expression générale de ces intégrales.
Définition des intégrales de Wallis
Une intégrale de Wallis est une intégrale faisant intervenir une puissance entière de la fonction sinus. Il s’agit des termes de la suite réelle \((W_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\[ \forall n \in \mathbb N, W_n = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}(t) \,\mathrm{d}t\] ou de façon équivalente, grâce au changement de variable \( x = \displaystyle \frac{\pi}{2} – t\)
\[ \forall n \in \mathbb N, W_n = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{n}(t) \,\mathrm{d}t\]
Résultats principaux
Premiers termes
Il est important de connaître les premiers termes de cette suite, car les sujets demandent souvent de les calculer !
Les connaître en avance permet donc de vérifier ses résultats, et donc d’éviter de perdre des points bêtement.
On a donc : \( W_0 = \displaystyle \frac{\pi}{2}, W_1 = 1, W_2 = \displaystyle \frac{\pi}{4}\)
Convergence en \(+\infty\)
La suite \((W_n)\) converge en \(+\infty\).
Pour obtenir ce résultat, on montre que la suite est décroissante, puisqu’elle est minorée. On conclut avec le théorème de la limite monotone.
Généralisation de l’expression des intégrales de Wallis
Le résultat général des intégrales de Wallis s’exprime différemment selon la parité de l’indice.
Ainsi, on aura :
\[ \forall p \in \mathbb N, W_{2p+1}=\displaystyle \frac{(2^pp!)^2}{(2p+1)!}\]
\[\forall p \in \mathbb N, W_{2p}=\displaystyle \frac{\pi}{2} \frac{(2p)!}{(2^pp!)^2}\]
Démonstration de ce résultat
La façon la plus simple et la plus classique de démontrer ces résultats est de procéder par récurrence. Si l’énoncé nous donne en avance les valeurs de \(W_{2n+1}\) et \(W_{2n}\), alors on établit la relation de récurrence suivante : \(\forall n \in \mathbb N, W_{n+2} = \displaystyle \frac{n+1}{n+2}W_n\).
De cette relation et de la valeur des termes \(W_0\) et \(W_1\), on en tire les résultats demandés grâce à la méthode d’itération.
Pour t’entraîner
Cette liste est non exhaustive, mais ces exercices d’annales permettent, à mon sens, d’arriver au point sur les intégrales de Wallis aux concours.
- EDHEC 2013 ECS – Problème
- EDHEC 2-2018 ECS – Problème
La trigonométrie expliquée dans une vidéo très complète
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Aller plus loin
Les fonctions de trigonométries peuvent être approfondies sous différentes formes. En effet, les fonctions sinus et cosinus ont donné lieu à de nombreuses notions hors programme (qui se trouvent régulièrement dans les sujets). Parmi elles, tu peux retrouver : voici un tableau récapitulatif de toutes nos ressources de trigonométrie sur Major Prépa, que ce soit aussi bien en termes de notions de cours comme de notions hors programme :
Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques !
