Cet article te propose 10 astuces sur les sommes, expliquées comme tu ne l’as jamais vu ! Il s’adresse essentiellement aux bizuths entrant en prépa ECG (ou aux carrés en galère ?), qui n’ont pas du tout eu l’habitude de manipuler ce genre d’écriture, avec la notation Sigma \(\Sigma\).
Compatible maths ECT, maths appliquées, maths approfondies.
Tu peux aussi consulter nos autres astuces sur les sommes pour d’autres niveaux :
8 astuces sur les sommes – Niveau intermédiaire
10 astuces sur les sommes – Niveau avancé
1) Fonctionnement d’une somme : explication de la notation Sigma
Pourquoi \( \displaystyle \sum_{k=1}^5u_k=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5\) ?
Qu’est-ce qu’il se passe concrètement entre le \(k=1\) et le \(5\) de part et d’autre du Sigma ? En fait, c’est tout simple, on peut considérer que la somme est une sorte de « compteur », qui compte tous les nombres entiers (et j’ai bien dit nombre entiers, surtout pas des nombres réels !) compris entre une valeur minimum et une valeur maximum.
Ici, \(1\) est la borne minimale de la somme et \(5\) la borne maximale de la somme. Donc, on comptabilise tous les nombres entiers compris entre 1 et 5 : \(1, 2, 3, 4, 5\).
À chaque fois que ce compteur monte d’un rang, il va influer sur ce qu’on appelle l’intérieur de la somme : il s’agit ici de “\(u_k\)”.
Donc finalement, la variable k sera remplacée successivement par tous les entiers entre \(1\) et \(5\).
Lorsque dans la somme \(k=1\), on aura donc \(u_1\).
Lorsque dans la somme \(k=2\), on aura donc \(u_2\).
…
Lorsque dans la somme \(k=5\), on aura donc \(u_5\).
C’est ainsi qu’on peut expliquer concrètement pourquoi \( \displaystyle \sum_{k=1}^5u_k=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5\).
Maintenant que tu as compris comment fonctionne la notation Sigma, tu peux généraliser la notion sans problème avec n’importe quel entier (ça ne sera pas toujours le nombre \(5\) qui sera la borne supérieure de la somme, ça peut être un entier relatif quelconque !). Pour désigner cet entier quelconque, on utilisera la variable \(n\) définie sur \( \mathbb N \).
Pour ce faire, c’est tout bête, tu as juste à remplacer le chiffre \(5\) par la variable \(n\) ! (Sans oublier le quantificateur de \(n\) qui permet de définir la variable, sans quoi elle veut rien dire !)
Ainsi : \(\forall n \in \mathbb N, \displaystyle \sum_{k=1}^nu_k=u_1+u_2+u_3+ \dots + u_{n-1}+u_n\)
2) Appliquer la somme des \(k\) à autre chose que \(n\)
Un résultat du cours à connaître par cœur est appelé la somme des \(k\) : \(\forall n \in \mathbb N^*, \displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\)
Parfois, souvent lors des premières interrogations écrites de bizuth, les professeurs s’amusent à changer la variable \(n\) au-dessus de la somme par autre chose pour voir si les préparationnaires ont bien compris leur cours. Il s’agit d’une application de cette formule.
Par exemple, pourquoi on peut écrire ça ?
\(\forall (n,p) \in \mathbb{(N^*)}^2\displaystyle \sum_{k=1}^{n+p+3}k=\frac{(n+p+3)(n+p+4)}{2}\)
Pour comprendre parfaitement comment elle marche, voilà l’astuce : tu dois apprendre la somme de cette manière :
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{truc}k=\frac{truc(truc+1)}{2}\)
En gros, tu peux remplacer \(truc\) par n’importe quoi dans la formule, et ça fonctionnera !
3) Notations alternatives sur les sommes parfois peu connues
Soit \(n \in \mathbb N^*\).
Dans l’astuce précédente, je te disais que l’ensemble qui est indexé (c’est-à-dire qui est associé) à la somme est nécessairement un ensemble d’entiers naturels (ou d’entiers relatifs, ça marche aussi). C’est un compteur de nombres entiers…
On le note usuellement \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\), car c’est l’écriture la plus simpliste. Mais il y a deux autre façons d’écrire que \(k\) est compris dans l’ensemble des entiers entre \(1\) et \(n\) en maths :
- de façon analytique, avec une double inégalité : \(1 \le k \le n\) ;
- de façon ensembliste, avec la notation suivante : \(k \in [\![1,n]\!]\).
C’est pourquoi on peut totalement écrire que : \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_k=\sum_{1 \le k \le n}u_k=\sum_{k \in [\![1,n]\!]}u_k\)
Il s’agit de la même chose écrite de trois façons différentes.
4) Enlever les termes d’une somme
Parfois, il peut être utile d’enlever le terme d’une somme, car il est assez particulier ou il facilite la résolution de l’exercice. Souvent, on enlève le premier ou le dernier terme d’une somme. C’est pourquoi tu peux très bien écrire :
\(\forall n \in \mathbb N^*, \displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_k=\sum_{k=1}^{n-1}u_k+u_n\) (dernier terme enlevé)
\(\forall n \ge 2, \displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_k=\sum_{k=2}^{n}u_k+u_1\) (premier terme enlevé)
Mais parfois, on a besoin d’enlever un terme en plein milieu de la somme, par exemple le terme pour \(k=7\). Dans ce cas, on notera cela de la façon suivante :
\(\forall n \in \mathbb N^*, \displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_k=\sum_{ \scriptstyle k=1 \atop \scriptstyle k \ne 7}^nu_k+u_7\)
5) Séparer une somme en deux
Il est très utile de séparer une somme en deux sommes dans certains cas. C’est pourquoi, tu as très bien le droit d’écrire :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{20}u_k=\sum_{k=1}^{15}+\sum_{k=16}^{20}\)
Attention ! Erreur à ne surtout pas faire :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{20}u_k=\sum_{k=1}^{15}+\sum_{k=15}^{20}\)
Faire terminer la première somme à \(k=15\) et faire partir la deuxième somme à \(k=15\). C’est tout simplement faux, car il ne faut pas oublier que ce sont des nombres discrets (c’est-à-dire entiers).
Faire partir la deuxième somme à \(k=15\) rajoute dans ton équation le terme \(u_{15}\), alors qu’il est déjà dans ta première somme, c’est comme si tu le dupliquais ! Ce qui est bien évidemment faux…
Explication détaillée :
\(
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{20}u_k&=u_1+u_2+u_3+…+u_{14}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+u_{18}+u_{19}+u_{20} \\
&=(u_1+u_2+u_3+…+u_{14}+u_{15})+(u_{16}+u_{17}+u_{18}+u_{19}+u_{20}) \\
&=\underbrace{(u_1+u_2+u_3+…+u_{14}+u_{15})}_{\displaystyle \sum_{k=1}^{15}u_k}+\underbrace{(u_{16}+u_{17}+u_{18}+u_{19}+u_{20})}_{\displaystyle \sum_{k=16}^{20}u_k}
\end{align}
\)
Tu vois bien que le terme \(u_{15}\) n’apparaît qu’une fois…
6) Formule pour calculer le nombre de termes d’un ensemble discret
Il est indispensable de savoir compter le nombre de termes d’un ensemble discret. Par exemple :
Soit \((p,n) \in \mathbb N^2\) tel que \( p < n\)
Combien de termes contient l’ensemble \([\![p,n]\!]\) ?
La formule est la suivante : \(\fbox{nombre de termes = dernier terme – premier terme + 1}\).
Donc, si on l’applique à l’ensemble, comme le premier terme est \(n\) et le dernier terme est \(p\) :
nombre de termes \(= n – p + 1\)
7) Valeur de la somme des \(1\)
Soit \(n \in \mathbb N\). La fameuse somme des 1 peut en faire trembler plus d’un en début de bizuth… pourtant c’est si simple quand on a compris !
Pourquoi \( \displaystyle \sum_{k=0}^n1=n+1\) ?
Si tu as compris comment marche le symbole de sommation et que tu as des doutes sur ton résultat, toujours avoir un réflexe primordial : détailler avec les “\(\dots\)”. Donc, tu peux très bien écrire : \( \displaystyle \sum_{k=0}^n1=1+1+1+ \dots +1+1\)
Mais maintenant, il faut s’intéresser à une information importante… combien de fois est sommé le nombre 1 ? Il y a un moyen très simple de le savoir, c’est d’utiliser l’astuce précédente : calculer le nombre de termes d’un ensemble discret. Donc, tout simplement :
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n1=\underbrace{1+1+1+ \dots +1+1}_{n-0+1=n+1 \text{fois}}\). Donc, s’ił y a \(n+1\) fois \(1\), alors : \( \displaystyle \sum_{k=0}^n1=n+1\)
Soit \(x \in \mathbb R\)
Somme alternative : \( \displaystyle \sum_{k=0}^nx\)
Première façon de le voir : c’est comme si on avait multiplié la somme précédente par \(x\), donc \( \displaystyle \sum_{k=0}^nx=(n+1)x\)
Deuxième façon de le voir : refaire la même démarche que précédemment, mais en remplaçant \(1\) par \(x\), donc :
\( \displaystyle \sum_{k=0}^nx=\underbrace{x+x+x+ \dots +x+x}_{n-0+1=n+1 \text{fois}}\)
Et pour les plus dubitatifs d’entre vous encore à ce stade, regardez l’itération suivante pour comprendre parfaitement :
\(\underbrace{x+x}_{2 \ \text{fois}}=2x\)
\(\underbrace{x+x+x}_{3 \ \text{fois}}=3x\)
\(\underbrace{x+x+x+x}_{4 \ \text{fois}}=4x\)
\(\dots\)
\(\underbrace{x+x+x+ \dots +x+x}_{n+1 \text{fois}}=(n+1)x\)
8) Somme des pairs et des impairs consécutifs
Soit \(n \ge 2\).
Une décomposition ultra classique d’une somme est la somme des termes pairs et impairs.
Pourquoi \( \displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k}+\sum_{k=0}^nu_{2k+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}u_k\) ?
Pour le comprendre, il faut détailler les deux sommes l’une en dessous de l’autre, donc passer par les “\(\dots\)” :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k}=u_0+u_2+u_4+ \dots + u_{2n-2} + u_{2n}\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k+1}=u_1+u_3+u_5+ \dots + u_{2n-1} + u_{2n+1}\)
Maintenant, si on additionne membre à membre les deux lignes, on a :
\(
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k}+\sum_{k=0}^nu_{2k+1}&=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+ \dots + u_{2n-2}+u_{2n-1}+u_{2n}+u_{2n+1} \\
&=\underbrace{u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+ \dots + u_{2n-2}+u_{2n-1}+u_{2n}+u_{2n+1}}_{\displaystyle \sum_{k=0}^{2n+1}u_k}
\end{align}
\)
Donc, on a bien : \( \displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k}+\sum_{k=0}^nu_{2k+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}u_k\)
9) Pourquoi on a l’égalité : \( \displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k+1}-\sum_{k=0}^nu_{2k+2}=\sum_{k=1}^{2k+2}(-1)^{k+1}u_k\) ?
Soit \(n \in \mathbb N\). C’est exactement la même fonction que pour l’astuce précédente à quelques détails près :
– la somme des pairs démarre de 2 rangs supplémentaires ;
– on soustrait les impairs aux pairs.
Pour le comprendre, il faut détailler les deux sommes l’une en dessous de l’autre, donc passer par les “\(\dots\)” :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k+1}=u_1+u_3+ \dots + u_{2n-1} + u_{2n+1}\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k+2}=u_2+u_4+ \dots + u_{2n-2} + u_{2n+2}\)
Maintenant, si on soustrait membre à membre les deux lignes, on a :
\(
\begin{align}
\scriptstyle \displaystyle \sum_{k=0}^nu_{2k+1}-\sum_{k=0}^nu_{2k+2}&\scriptstyle =u_1-u_2+u_3-u_4+u_5- \dots -u_{2n-2}+u_{2n-1}-u_{2n}+u_{2n+1}-u_{2n+2},\ \text{or} \ -1=(-1)^3\\
&\scriptstyle =u_1+(-1)^3u_2+u_3+(-1)^5u_4+u_5+ \dots +(-1)^{2n-1}u_{2n-2}+u_{2n-1}+(-1)^{2n+1}u_{2n}+u_{2n+1}+(-1)^{2n+3}u_{2n+2} \\
&\scriptstyle =\underbrace{u_1+(-1)^3u_2+u_3+(-1)^5u_4+u_5+ \dots +(-1)^{2n-1}u_{2n-2}+u_{2n-1}+(-1)^{2n+1}u_{2n}+u_{2n+1}+(-1)^{2n+3}u_{2n+2}}_{\displaystyle \sum_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k+1}u_k}
\end{align}
\)
En fait, on a transformé les \(-1\) en ce qui nous arrangeait pour l’itération :
\(-1=(-1)^1\)
\(-1=(-1)^3\)
\(-1=(-1)^5\)
\(\dots\)
\(-1=(-1)^{2n+1}\)
\(-1=(-1)^{2n+3}\)
10) Refermer une somme du type \(\displaystyle \sum_{k=p+1}^nu_k\)
Soit \((n,p) \in ( \mathbb{N^*})^2\) tel que \(p<n\). Comment calculer cette somme \(\displaystyle \sum_{k=p+1}^nk\) ?
Ici, ce qui est dérangeant, c’est qu’elle ne commence pas à 0 ou à 1 (comme dans ton cours, car tu aurais pu utiliser la formule de la somme des \(k\) dans ce cas) mais bien à \(p+1\), et comme cette somme ne figure nullement dans ton cours, tu n’as pas le droit d’inventer de formules…
Pour comprendre comment procéder, tu pourrais commencer par décomposer la somme des \(k\) classique :
\(
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+ \dots +n
\end{align}
\)
Toute l’astuce ici est de faire apparaître des termes dans les \(\dots\) qui sont « invisibles ». Comme dans la somme qu’on cherche à calculer, il y a du \(p\), pourquoi ne pas faire apparaître cette variable dans les \(\dots\) ? (Rien ne t’en empêche a priori, car on sait que \(p<n\).)
Dès lors, on obtient quelque chose comme cela :
\(
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+ \dots + p-1+ p + (p+1) + \dots +n
\end{align}
\)
Maintenant, tu es apte à reconnaître deux nouvelles sommes, dont celle que tu cherches !
\(
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\underbrace{1+2+3+ \dots + p-1+ p}_{\displaystyle \sum_{k=1}^pk} + \underbrace{(p+1) + \dots +n}_{\displaystyle \sum_{k=p+1}^nk}
\end{align}
\)
Donc, en ne faisant apparaître que les sommes :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^pk+\sum_{k=p+1}^nk\), d’où :
\(\displaystyle \sum_{k=p+1}^nk=\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^pk\)
Or, c’est magique, car les deux nouvelles sommes que l’on a fait apparaître à droite sont des sommes connues du cours ! On a donc :
\(
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=p+1}^nk &=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{p(p+1)}{2} \\
&=\frac{n(n+1)-p(p+1)}{2}
\end{align}
\)
Tu veux apprendre comment appréhender et intérioriser tous ces astuces ? Alors consulte : Le carnet d’astuces en maths : une bonne idée ?
N’hésite pas à consulter toutes nos autres ressources mathématiques !
